Производная примеры с решением

Изучить конкретные примеры нахождения производных с подробными пояснениями — лучший способ научиться находить производную самостоятельно.

После разбора производной степени , производной суммы и разности , производной произведения , производной частного и производной сложной функции настал черед рассмотреть примеры производных, в которых используются сразу несколько правил дифференцирования.

Данная функция представляет собой произведение функций, где u=4x², v=cos(11-x²). По правилу дифференцирования произведения:

первая из функций — степенная, вторая — сложная функция, где внешняя функция f=cos u, внутренняя u=11-x². Применяя соответствующие правила, имеем:

Эта функция — частное. u=2sin3x-1, v=√x. По правилу дифференцирования частного:

В свою очередь, числитель представляет собой разность двух функций, первая из которых, sin3x — сложная (f=sin u, u=3x, а число выносим за знак производной). Применяем правила для дифференцирования разности и сложной функции, имеем:

Теперь выражениz в числителе приводим к общему знаменателю 2√x:

Это — сложная функция, внешняя функция f=u³, внутренняя u=lnx-tg7x. По правилу дифференцирования сложной функции: y’=3(lnx-tg7x)²·(lnx-tg7x)’=

в свою очередь, внутренняя функция представляет собой разность двух функций, где вторая — сложная функция (f=tgu, u=7x). Применяя правила для нахождения производной разности и сложной функции, получаем:

Это — сложная функция. Внешняя функция f — корень четвертой степени из u, внутренняя u=arctg10x. Преобразуем корень четвертой степени в степень с дробным показателем, затем дифференцируем:

В свою очередь, arctg10x — также сложная функция. Здесь внешняя функция f=arctgu, внутренняя u=10x:

Степень с дробным отрицательным показателем нужно преобразовать:

Это — пример производной частного:

свою очередь, числитель представляет собой производную произведения:

Первый множитель, в свою очередь — сложная функция. Внешняя функция — показательная, 4 в степени u, внутренняя — u=cos8x:

Внешняя функция f=cos u, внутренняя u=8x:

Это — пример производной, где сначала нужно применить правило дифференцирования суммы:

Первое слагаемое — произведение функций, второе — сложная функция (f=lnu, u=cosx), третье слагаемое — также сложная функция (f- е в степени u, u=5x):

Эта функция — сложная. Однако здесь можно применить свойства логарифмов, после чего дифференцировать функцию станет гораздо проще:

Примеры производных для самопроверки:

Содержание

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций".

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u'v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями".

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Пошаговые примеры - как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями".

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций".

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Найти производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 7. Найти производную функции

.

Пример 8. Найти производную функции

.

Продолжаем искать производные вместе

Пример 9. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных - под номером 3), получим

.

Пример 10. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 11. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 12.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных - номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель - также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя - это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Получить в PDF методичку-решебник с 33 примерами решений Найти производную: алгоритм на примере простых элементарных функций, БЕСПЛАТНО

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

  • Попробуйте найти производные от приведенных ниже функций.
  • Нажмите на изображение или стрелку, чтобы попасть на страницу с подробным решением.

Примеры решений производных от явных функций

Найдите производные следующих функций, зависящих от переменной x :

Примеры решений производных высших порядков от явных функций

Найти производные первого и второго порядка следующей функции:

Найти производную третьего порядка:

Найти производную шестого порядка следующей функции:

Вычислить n-ю производную функции

Найти n-ю производную следующей функции:

где и – постоянные.

Примеры решения производных от функций, заданных параметрическим способом

Найдите производную от функции, заданной параметрическим способом:

Найдите производную , где и выражены через параметр :

Найдите производные второго и третьего порядка от функции, заданной параметрическим способом:

Примеры решений производных от неявных функций

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:

Найти производную второго порядка от неявно заданной функции:

Найти производную третьего порядка при от функции, заданной уравнением:

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-02-2017 Изменено: 10-04-2017

Производная примеры с решением

Вычислить производную функции

[Используем третье правило дифференцирования ]

[ Для первого и второго слагаемого следуем применить четвертое правило дифференцирования ]

[ для третьего слагаемого используем правило , для первого и второго -табличную производную ]

Вычислить производную функции

[Используем третье правило дифференцирования ]

[Применим четвертое правило дифференцирования ]

[Применим табличную производную ]

Вычислить производную функции

[Используем формулу дифференцирования произведения ]

[Применим табличные производные и ]

Вычислить производную функции

[Используем формулу дифференцирования частного ]

[ Все бы хорошо и по табличным производным. Кроме . Вспомним свойства степеней и вынесем константу за знак дифференциала.]

Формула:

Её все равно никто не понимает, формулу эту, поэтому примеры:

Вычислить производную функции

Пояснение: требуется вычислить производную функции синус от какого–то аргумента. Производная синуса равна косинусу. От того же аргумента (в данном случае это ). И умножим на производную аргумента.

Можно даже сформулировать некое правило вычисления производной сложной функции

«Идти от наружной функции к внутренней».

Вычислить производную функции

[Наружная функция это корень квадратный, помним, что . Применим это, не забыв умножить на производную функции, стоящей внутри корня.]

Производная сложной функции: примеры решений

Достаточно часто студентам в контрольных работах по математике нужна производная сложной функции, примеры решений которой будут рассмотрены на практике в данном материале. Но сначала краткая теория.

Пусть есть функция , тогда производную сложной функции можно найти по формуле:

Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется "по цепочке". Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.

Рассмотрим на практике примеры решений производных сложных функций.

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (Пока оценок нет)
Загрузка...
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

3 + 6 =

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

map