Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Содержание

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Самый простой линейный оператор - умножение вектора на число \(\lambda \). Этот оператор просто растягивает все вектора в \(\lambda \) раз. Его матричная форма в любом базисе - \(diag(\lambda ,\lambda . \lambda )\). Фиксируем для определенности базис \(\\) в векторном пространстве \(\mathit\) и рассмотрим линейный оператор с диагональной матричной формой в этом базисе, \(\alpha = diag(\lambda _1,\lambda _2. \lambda _n)\). Этот оператор, согласно определению матричной формы, растягивает \(e_k\) в \(\lambda _k\) раз, т.е. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) для всех \(k=1,2. n\). С диагональными матрицами удобно работать, для них просто строится функциональное исчисление: для любой функции \(f(x)\) можно положить \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2. \lambda _n))=diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2). f(\lambda _n))\). Таким образом возникает естественный вопрос: пусть имеется линейный оператор \(A\), можно ли выбрать такой базис в векторном пространстве, чтобы матричная форма оператора \(A\) была диагональной в этом базисе? Этот вопрос приводит к определению собственных чисел и собственных векторов.

Определение. Пусть для линейного оператора \(A\) существует ненулевой вектор \(u\) и число \(\lambda \) такие, что \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Тогда вектор \(u\) называют собственным вектором оператора \(A\), а число \(\lambda \) - соответствующим собственным числом оператора \(A\). Совокупность всех собственных чисел называют спектром линейного оператора \(A\).

Возникает естественная задача : найти для заданного линейного оператора его собственные числа и соответствующие собственные вектора. Эту задачу называют задачей о спектре линейного оператора.

Фиксируем для определенности базис в векторном пространстве, т.е. будем считать, что он раз и навсегда задан. Тогда, как обсуждалось выше, рассмотрение линейных операторов можно свести к рассмотрению матриц - матричных форм линейных операторов. Уравнение (59) перепишем в виде \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Здесь \(E\) - единичная матрица, а \(\alpha\) - матричная форма нашего линейного оператора \(A\). Это соотношение можно трактовать как систему \(n\) линейных уравнений для \(n\) неизвестных - координат вектора \(u\). Причем это однородная система уравнений, и нам следует найти ее нетривиальное решение. Ранее было приведено условие существования такого решения - для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг системы был меньше числа неизвестных. Отсюда следует уравнение для собственных чисел: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]

Опишем свойства этого уравнения и его решений. Если его выписывать в явном виде, получим уравнение вида \[ (-1)^n\lambda ^n+. +det(A)=0. \quad \quad(61) \] В левой части стоит полином по переменной \(\lambda \). Такие уравнения называются алгебраическими степени \(n\). Приведем необходимые сведения об этих уравнениях.

Справка об алгебраических уравнениях.

Следствие. Уравнение (61) имеет на комплексной плоскости столько решений, какова его степень (решения учитываются с учетом кратности).

Пример. Рассмотрим уравнение \[ \lambda (\lambda-1)^2(\lambda+1)^3=0. \] Это уравнение 6 степени. Оно имеет следующие решения: \( \lambda =0\), \( \lambda =1\), \( \lambda =-1\), причем кратность первого решения равна 1 (такие решения называют простыми корнями), кратность второго решения равна 2, кратность третьего решения равна 3. Решения, кратность которых выше 1, называют кратными . В нашем случае 1+2+3=6. Уравнения степени \(n \geq 5\) невозможно решить с помощью радикалов (теорема Абеля-Руффини). Для уравнений степени \(n=2,3,4\) такие явные формулы существуют. Однако на практике уравнения высокой степени можно успешно решать с помощью компьютеров. Таким образом, в дальнейшем будем считать, что мы тем или иным способом построили решения уравнения (61).

Рассмотрим вопрос о построении собственного вектора, соответствующего известному собственному числу \(\lambda _k\). Для этого обратимся к уравнению \[ (\alpha -\lambda_k E)u=0. \] Это уравнение можно понимать как систему линейных уравнений для координат вектора \(u\) - собственного вектора, соответствующего собственному числу \(\lambda _k\). При этом данная система имеет нетривиальное решение, так как ранг этой системы меньше числа неизвестных. Решая эту систему методом Гаусса, можно определить координаты вектора \(u\). Перебирая все значения \(\lambda _k\), \(k=1,2. n\), находим соответствующие собственные вектора \(u_k\).

Пример. Найдем собственные значения и собственные вектора линейного преобразования, заданного в некотором базисе следующей матрицей: \[ A=\left ( \begin5 & -7 & 0 \\-3 & 1 & 0 \\12 & 6 & -3 \end \right ). \] Матрица \(A-\lambda E\) имеет в данном случае вид: \[ A- \lambda E=\left ( \begin5 -\lambda & -7 & 0 \\-3 & 1-\lambda & 0 \\12 & 6 & -3 -\lambda\end \right ). \] Вычисляем определитель \(det(A-\lambda E)\) и выписываем уравнение на собственные значения: \[ det(A-\lambda E)=-(\lambda +3)(\lambda ^2-6\lambda -16)=0. \] Отсюда находим 3 собственных значения: \(\lambda _1=-3, \lambda _2=8, \lambda _3=-2\). Мы получили 3 собсвенных значения, все они имеют кратность 1, т.е. это простые собственные числа. Вычислим соответствующие собственные вектора.

1. Рассмотрим \(\lambda _1=-3\). Соответствующее уравнение для собственного вектора \(u=(u_1,u_2,u_3)^T\) имеет вид: \[ \left( \begin8 & -7 & 0 \\-3 & 4 & 0 \\12 & 6 & 0\end \right) \left( \beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \end \right)=0, \] где справа стоит нулевой 3-вектор. Эта система уравнений для 3 неизвестных имеет следующее решение: \(u=(0,0,1)^T\).

2. Рассмотрим \(\lambda _2=8\). Соответствующее уравнение для собственного вектора \(u=(u_1,u_2,u_3)^T\) имеет вид: \[ \left ( \begin-3 & -7 & 0 \\-3 & -7 & 0 \\12 & 6 & 5 \end \right ) \left( \beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \end \right)=0, \] где справа стоит нулевой 3-вектор. Эта однородная система уравнений для неизвестных \(u_1,u_2,u_3\) имеет решение: \(u=(7, -3, 0)^T\).

3. Рассмотрим \(\lambda _3=-2\). Соответствующее уравнение для собственного вектора \(u=(u_1,u_2,u_3)^T\) имеет вид: \[ \left ( \begin7 & -7 & 0 \\-3 & 3 & 0 \\12 & 6 & -1 \end \right ) \left( \beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \end \right)=0, \] где справа стоит нулевой 3-вектор. Эта однородная система уравнений для неизвестных \(u_1,u_2,u_3\) имеет решение: \(u=(1,1,0)^T\).

Теорема. Пусть все собственные числа линейного оператора \(A\) - простые. Тогда набор собственных векторов, соответствующих этим собственным числам, образует базис векторного пространства.

Из условий теоремы следует, что все собственные числа оператора \(A\) различны. Предположим, что набор собственных векторов линейно зависим, так что существуют константы \(c_1,c_2. c_n\), не все из которых нули, удовлетворяющие условию: \[ \sum_^nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

Рассмотрим среди таких формул такую, которая включает минимальное число слагаемых, и подействуем на нее оператором \(A\). В силу его линейности получаем: \[ A\left (\sum_^nc_ku_k \right )=\sum_^nc_kAu_k=\sum_^nc_k\lambda _ku_k=0. \quad \quad(63) \]

Пусть, для определенности, \(c_1 \neq 0\). Умножая (62) на \(\lambda _1\) и вычитая из (63), получим соотношение вида (62), но содержащее на одно слагаемое меньше. Противоречие доказывает теорему.

Итак, в условиях теоремы появляется базис, связанный с данным линейным оператором - базис его собственных векторов. Рассмотрим матричную форму оператора в таком базисе. Как упоминалось выше, \(k\)-ый столбец этой матрицы - это разложение вектора \(Au_k\) по базису. Однако по определению \(Au_k=\lambda _ku_k\), так что это разложение (то, что выписано в правой части) содержит только одно слагаемое и построенная матрица оказывается диагональной. В итоге получаем, что в условиях теоремы матричная форма оператора в базисе его собственных векторов равна \(diag(\lambda _1,\lambda _2. \lambda _n)\). Поэтому если необходимо развивать функциональное исчисление для линейного оператора разумно работать в базисе его собственных векторов.

Если же среди собственных чисел линейного оператора есть кратные, описание ситуации становится сложнее и может включать так называемые жордановы клетки. Мы отошлем читателя к более продвинутым руководствам для изучения соответствующих ситуаций.

Найти собственные числа и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей \(A\).

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Вектор Х ≠ 0 называют собственным вектором линейного оператора с матрицей А, если найдется такое число l, что АХ = lХ.

При этом число l называют собственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору Х.

Иными словами, собственный вектор – это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.

Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными. Если матрица такой системы – квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение – нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.

|А - lЕ| = = 0

Это уравнение с неизвестным l называют характеристическим уравнением (характеристическим многочленом) матрицы А (линейного оператора).

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .

Для этого составим характеристическое уравнение |А - lЕ| = = (1 - l) 2 – 36 = 1 – 2l + l 2 - 36 = l 2 – 2l - 35 = 0; Д = 4 + 140 = 144; собственные значения l1 = (2 - 12)/2 = -5; l2 = (2 + 12)/2 = 7.

Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений

Для первой из них расширенная матрица примет вид

,

Для второй из них расширенная матрица примет вид

,

Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с1; с1) с собственным значением 7.

Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

,

где li – собственные значения этой матрицы.

Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.

Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

Поясним это на предыдущем примере. Возьмем произвольные ненулевые значения с и с1, но такие, чтобы векторы Х (1) и Х (2) были линейно независимыми, т.е. образовали бы базис. Например, пусть с = с1 = 3, тогда Х (1) = (-2; 3), Х (2) = (2; 3).

Убедимся в линейной независимости этих векторов:

= -12 ≠ 0. В этом новом базисе матрица А примет вид А * = .

Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой А * = С -1 АС. Вначале найдем С -1 .

С Т = ;

С -1 = ;

Квадратичной формой f(х1, х2, хn) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом: f(х1, х2, хn) = (aij = aji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали, aij = aji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

. В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразованием матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T )A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * = C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y1, y2), полученную из квадратичной формы f(х1, х2) = 2x1 2 + 4х1х2 - 3х2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид), если все ее коэффициенты aij = 0 при i ≠ j, т.е.

f(х1, х2, хn) = a11 x1 2 + a22 x2 2 + ann xn 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х1:

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х2:

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называют законом инерции квадратичных форм.

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х2:

+3y2 2 + 2y3 2 , где y1 = - (2/3)х1 + х2 + (1/6) х3, y2 = (2/3)х1 + (1/6) х3 и y3 = x1. Здесь отрицательный коэффициент -3 при y1 и два положительных коэффициента 3 и 2 при y2 и y3 (а при использовании другого способа мы получили отрицательный коэффициент (-5) при y2 и два положительных: 2 при y1 и 1/20 при y3).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называют положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е. f(X) > 0 (отрицательна, т.е.

Например, квадратичная форма f1(X) = x1 2 + х2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная форма f2(X) = -x1 2 + 2x1х2 - х2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в виде f2(X) = -(x1 - х2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема. Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы А n-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первых k строк и столбцов матрицы А ( ).

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х1, х2) = 2x1 2 + 4х1х2 + 3х2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (2 - l)*

*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2 ) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;

. Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D1 = a11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х1, х2) = -2x1 2 + 4х1х2 - 3х2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 - l)*

*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2 ) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;

. Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D1 = a11 =

= -2 < 0. Главный минор второго порядка D2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х1, х2) = 2x1 2 + 4х1х2 - 3х2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (2 - l)*

*(-3 - l) – 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2 ) – 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;

.

Одно из этих чисел отрицательно, а другое – положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D1 = a11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D2 = = -6 – 4 = -10 < 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора

В предыдущем параграфе мы познакомились с определением подпространства, инвариантного относительно данного линейного оператора. При этом особый интерес представляют одномерные инвариантные подпространства. Пусть — такое подпространство и тогда и значит, где — число. Если у — любой другой вектор из то и

Определение 4. Вектор называется собственным вектором линейного оператора если найдется такое число что это называется соотвествующим вектору х собственным значением, оператора (матрицы

Как мы только что видели, если — одномерное инвариантное относительно оператора подпространство то каждый ненулевой вектор из является собственным вектором оператора и притом с одним и тем же собственным значением. Обратно, если х — собственный вектор оператора то порожденное им одномерное подпространство (состоящее из всех векторов вида ) будет, очевидно, инвариантным относительно .

Как найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора? Предположим, что х — собственный вектор, а — соответствующее ему собственное значение линейного оператора Тогда

Выберем в пространстве какой-нибудь базис и пусть хпеп, а матрица оператора в этом базисе . Тогда (см. § 1)

откуда, ввиду единственности разложения вектора по базису

Для существования ненулевого решения этой (однородной) системы необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

(теорема 10 из главы I). Левая часть последнего равенства совпадает со значением при определителя матрицы который является многочленом относительно X степени Коэффициенты этого многочлена называемого характеристическим многочленом матрицы А, принадлежат, очевидно, основному полю Ниже (теорема 6) будет показано, что многочлен на самом деле не зависит от выбора базиса, и поэтому его можно назвать характеристическим многочленом оператор

Мы доказали, что каждое собственное значение линейного оператора является корнем его характеристического многочлена. Обратно, каждый корень характеристического многочлена оператора будет его собственным значением — соответствующие собственные

векторы находятся из системы уравнений (8), которая в этом случае обязательно имеет ненулевые решения, так как ее определитель равен нулю.

Теорема 6. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Доказательство. Пусть — характеристический многочлен оператора в базисе Предположим, что новый базис получается из старого с помощью матрицы С. Тогда характеристический многочлен оператора в базисе

— характеристический многочлен оператора Легко видеть, что равно сумме диагональных элементов матрицы А (эта сумма называется следом матрицы А и обозначается символом ). С другой стороны, есть определитель матрицы А; поэтому для того чтобы оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы было отлично от нуля, хт. е. чтобы оператор не имел нулевых собственных значений (что, впрочем, ясно и непосредственно)

Для тождественного оператора все ненулевые векторы пространства являются, очевидно, собственными (с собственным значением, равным единице).

Для нулевого оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным нулю).

Найден собственные значения и собственные векторы преобразования 1 из § 1.

Его корни комплексны. Значит, в вещественной плоскости, и если не кратно , это преобразование не имеет собственных значений.

Если преобразование является тождественным, и каждый вектор плоскости — собственный (причем ).

Если преобразование является центральной симметрией, и каждый вектор плоскости будет собственным с собственным значением, равным —1.

В комплексном случае система (8) приводится к уравнению для собственного значения и к уравнению — для корня Это дает два линейно независимых собственных вектора

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей

Решение. Характеристический многочлен преобразования

Его корни Собственные векторы находятся из двух систем уравнений:

каждая из которых, поскольку ее определитель равен нулю, сводится к одному уравнению.

При это — уравнение из которого находим: и в качестве собственного вектора, соответствующего можно взять (или любой вектор, кратный При имеем уравнение из которого и соответствующий собственный вектор ) (или любой вектор, кратный ему).

Особенно простой вид принимает матрица линейного оператора, имеющего линейно независимых собственных векторов. В самом деле, пусть линейный оператор имеет линейно независимых собственных векторов с собственными значениями, соответственно равными Векторы примем за базисные, тогда, ввиду равенств

матрица оператора будет иметь вид

(такая матрица называется диагональной). Верно и обратное: если матрица А оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора

Однако далеко не каждый линейный оператор в -мерном векторном пространстве имеет -линейно независимых собственных векторов. Один из случаев, когда можно утверждать, что базис из собственных векторов («собственный базис») существует, подсказывается следующей теоремой:

Теорема 7. Собственные векторы линейного оператора, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство проведем индукцией по числу рассматриваемых собственных векторов. Для одного вектора, это ясно, так как, по определению собственного вектора, он отличен от нуля (и значит, из равенства вытекает, что а

Пусть наше утверждение справедливо для векторов и предположим, что собственных векторов

отвечающих попарно различным собственным значениям линейно зависимы:

Применяя к обеим частям этого равенства оператор получим

С другой стороны, умножая равенство (9) на А, будем иметь

Вычитая равенство из равенства (10), получим

а так как, по условию, все различны и в силу предположения индукции векторы линейно независимы, то а тогда из равенства (9) имеем акхк Теорема доказана.

Таким образом, если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

Поскольку многочлен с вещественными коэффициентами не обязательно имеет хотя бы один вещественный корень, то в вещественном пространстве не для всякого линейного оператора найдется хотя бы одно одномерное инвариантное подпространство. Однако имеет место следующая

Теорема 8. Для всякого линейного оператора, действующего в вещественном пространстве размерности существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Доказательство. Если характеристический многочлен оператора имеет хотя бы один вещественный корень, то этот оператор имеет собственный вектор, и значит, в существует одномерное инвариантное относительно подпространство.

Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, мы сошлемся на так называемую основную теорему алгебры комплексных чисел:

Каждый многочлен с комплексными (в частности, с вещественными) коэффициентами имеет хотя бы один (комплексный) корень.

В силу этой теоремы (которую мы здесь не доказываем) характеристический многочлен, не имеющий вещественного корня, будет иметь хотя бы один комплексный корень где .

Решая для этого Я систему уравнений (8), мы найдем соответствующие (комплексные) решения: и значит, будут справедливы равенства

Приравнивая действительные и мнимые части, получим две системы равенств:

Рассмотрим два (вещественных) вектора

Равенства (12) показывают, что а равенства , что Но тогда подпространство порожденное векторами инвариантно относительно так как если то и

принадлежит Это подпространство двумерно, так как если бы векторы и и и были линейно зависимыми:

то мы имели бы

и вектор был бы собственным вектором оператора с вещественным собственным значением

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]

Введение в анализ

ные аксиоматические теории

Теория очередей (СМО)

Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром .

В самом деле, пусть собственный вектор [math]\boldsymbol[/math] соответствует некоторому собственному значению [math]\lambda[/math] . Любой вектор [math]\boldsymbol[/math] из [math]\operatorname(\boldsymbol)[/math] имеет вид [math]\boldsymbol=\alpha \boldsymbol[/math] , где [math]\alpha[/math] — любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы [math]A[/math] n-го порядка называется ненулевой числовой столбец [math]s=\begins_1&\cdots9amp;s_\end^T[/math] , удовлетворяющий условию (7.13):

Число [math]\lambda[/math] в (&.6) называется собственным значением матрицы [math]A[/math] . При этом считалось, что собственное значение [math]\lambda[/math] и числа [math]s_i

(i=1,\ldots,n)[/math] принадлежат полю комплексных чисел.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец [math]s=\begin s_1&\cdots9amp;s_n\end^T[/math] и число [math]\lambda[/math] являются собственным вектором и собственным значением матрицы [math]A[/math] , причем числа [math]s_1,\ldots,s_n,\lambda[/math] принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство [math]V[/math] , то вектор [math]\boldsymbol=s_1 \boldsymbol_1+ \ldots+s_n \boldsymbol_n[/math] и число [math]\lambda[/math] являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования [math]\mathcal\colon V\to V[/math] с матрицей [math]A[/math] в базисе [math]\boldsymbol_1,\ldots,\boldsymbol_n[/math] .

В самом деле, условие (&.5) в координатной форме имеет вид (&.6), что совпадает с определением (7.13) собственного вектора матрицы. Наоборот, из равенства (&.6) следует равенство (&.5) при условии, что векторы [math]\boldsymbol=s_1 \boldsymbol_1+\ldots+s_n \boldsymbol_n[/math] и [math]\lambda\cdot \boldsymbol[/math] определены, т.е. числа [math]s_1,\ldots,s_n, \lambda[/math] принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство.

Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения [math]\Delta_A(\lambda)=0[/math] , где [math]\Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E)[/math] — характеристический многочлен матрицы [math]A[/math] . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.

1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от базиса, в котором найдена матрица преобразования.

2. Из теоремы 9.3 следует, что любой комплексный (действительный, рациональный) корень характеристического уравнения является собственным значением линейного преобразования [math]\mathcal\colon V\to V[/math] линейного пространства [math]V[/math] , определенного над полем комплексных (действительных, рациональных) чисел.

3. Из теоремы 9.3 следует, что любое линейное преобразование комплексного линейного пространства имеет одномерное инвариантное подпространство, так как это преобразование имеет собственное значение (см. пункт 2), а следовательно, и собственные векторы. Таким подпространством является, например, линейная оболочка любого собственного вектора. У преобразования вещественного линейного пространства одномерных инвариантных подпространств может и не быть, если все корни характеристического уравнения комплексные (но не действительные).

Теорема 9.4 об инвариантных подпространствах линейного оператора вещественного пространства. У всякого линейного преобразования вещественного линейного пространства существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Если [math]\lambda=\lambda_1[/math] — действительный корень характеристического уравнения, то и соответствующий собственный вектор [math]s=\begins_1&\cdots9amp;s_n\end^T[/math] матрицы [math]A[/math] также действительный. Поэтому он определяет собственный вектор [math]\boldsymbol=s_1 \boldsymbol_1+\ldots+s_n \boldsymbol_n[/math] линейного преобразования (см. теорему &.3). В этом случае существует одномерное инвариантное относительно [math]\mathcal[/math] подпространство [math]\operatorname(\boldsymbol)[/math] (см. геометрический смысл собственных векторов).

Если [math]\lambda=\alpha\pm\beta i[/math] — пара комплексных сопряженных корней [math](\beta\ne0)[/math] , то собственный вектор [math]s\ne o[/math] матрицы [math]A[/math] также с комплексными элементами: [math]s=\beginx_1+y_1i&\cdots9amp; x_n+y_n i \end^T[/math] . Его можно представить в виде [math]s=x+yi[/math] , где [math]x,\,y[/math] — действительные столбцы. Равенство (&.6) при этом будет иметь вид

Выделяя действительную и мнимую части, получаем систему

Покажем, что столбцы [math][/math] и [math][/math] линейно независимы. Рассмотрим два случая. Если [math]x=o[/math] , то из первого уравнения (&.7) следует, что [math]y=o[/math] , так как [math]\beta\ne0[/math] . Тогда [math]s=o[/math] , что противоречит условию [math]s\ne o[/math] . Предположим, что [math]x\ne o[/math] и столбцы [math]x[/math] и [math]y[/math] пропорциональны, т.е. существует такое действительное число [math]\gamma[/math] , что [math]y=\gamma x[/math] . Тогда из системы (&.7) получаем [math]\beginAx=(\alpha-\beta\gamma)x,\\ \gamma Ax=(\beta-\alpha\gamma)x. \end[/math] Прибавляя ко второму уравнению первое, умноженное на [math](-\gamma)[/math] , приходим к равенству [math][(\beta+\alpha\gamma)-\gamma(\alpha-\beta\gamma)]x=o[/math] . Так как [math]x\ne o[/math] , то выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е. [math](\beta+\alpha\gamma)- \gamma(\alpha- \beta\gamma)= \beta(1+\gamma^2)=0[/math] . Поскольку [math]\beta\ne0[/math] , то [math]\gamma^2=-1[/math] . Этого не может быть, так как [math]\gamma[/math] — действительное число. Получили противоречие. Таким образом, столбцы [math]x[/math] и [math]y[/math] линейно независимы.

Рассмотрим подпространство [math]\operatorname(\boldsymbol,\boldsymbol)[/math] , где [math]\boldsymbol= x_1 \boldsymbol_1+\ldots+x_n \boldsymbol_n,

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

1. Выбрать произвольный базис [math]\boldsymbol_1,\ldots,\boldsymbol_n[/math] линейного пространства [math]V[/math] и найти в этом базисе матрицу [math]A[/math] преобразования [math]\mathcal[/math] .

4. Для корня [math]\lambda=\lambda_1[/math] найти фундаментальную систему [math]\varphi_1, \varphi_2,\ldots,\varphi_[/math] решений однородной системы уравнений [math](A-\lambda_1E)x=o[/math] , где [math]r=\operatorname(A-\lambda_1E)[/math] . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования [math]\mathcal[/math] , отвечающие собственному значению [math]\lambda_1:[/math]

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению [math]\lambda_1[/math] , образовать ненулевые линейные комбинации

где [math]C_1,C_2,\ldots,C_[/math] — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений [math]\lambda_2,\ldots,\lambda_k[/math] линейного преобразования [math]\mathcal[/math] .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования комплексного линейного пространства нужно в пункте 3 определить все корни характеристического уравнения и, не отбрасывая комплексные корни, выполнить для них пункты 4,5.

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

1. Для нулевого преобразования [math]\mathcal\colon V\to V[/math] любой ненулевой вектор [math]\boldsymbol\in V[/math] является собственным, соответствующим нулевому собственному значению [math]\lambda=0[/math] , так как [math]\mathcal(\boldsymbol)=0\cdot \boldsymbol

\forall \boldsymbol\in V[/math] .

2. Для тождественного преобразования [math]\mathcal\colon V\to V[/math] любой ненулевой вектор [math]\boldsymbol\in V[/math] является собственным, соответствующим единичному собственному значению [math]\lambda=1[/math] , так как [math]\mathcal (\boldsymbol)=1\cdot \boldsymbol

\forall \boldsymbol\in V[/math] .

3. Для центральной симметрии [math]\mathcal_<\boldsymbol>\colon V\to V[/math] любой ненулевой вектор [math]\boldsymbol\in V[/math] является собственным, соответствующим собственному значению [math]\lambda=-1[/math] , так как [math]\mathcal_<\boldsymbol> (\boldsymbol)=(-1)\cdot \boldsymbol

\forall \boldsymbol\in V[/math] .

4. Для гомотетии [math]\mathcal_<\lambda>\colon V\to V[/math] любой ненулевой вектор [math]\boldsymbol\in V[/math] является собственным, соответствующим собственному значению [math]\lambda[/math] (коэффициенту гомотетии), так как [math]\mathcal_ <\lambda>(\boldsymbol<\boldsymbol>)= \lambda\cdot \boldsymbol

\forall \boldsymbol\in V[/math] .

5. Для поворота [math]\mathcal_<\varphi>\colon V_2\to V_2[/math] плоскости (при [math]\varphi\ne\pi k,

k\in\mathbb[/math] ) собственных векторов нет, так как при повороте на угол, не кратный [math]\pi[/math] , образ каждого ненулевого вектора неколлинеарен прообразу. Здесь рассматривается поворот вещественной плоскости, т.е. двумерного векторного пространства над полем действительных чисел.

6. Для оператора дифференцирования [math]\mathcal\colon P_n(\mathbb)\to P_n(\mathbb)[/math] любой ненулевой многочлен нулевой степени (не равный тождественно нулю) является собственным вектором, соответствующим нулевому собственному значению [math]\lambda=0[/math] , так как [math]\mathcal(s(x))=0\cdot s(x)[/math] [math]\forall s(x)\equiv \text[/math] . Любой многочлен ненулевой степени не является собственным вектором, так как многочлен не пропорционален своей производной: [math]\mathcal(s(x))=s&;(x)\ne \lambda\cdot s(x)[/math] , поскольку они имеют разные степени.

7. Рассмотрим оператор [math]\Pi_\colon V\to V[/math] проектирования на подпространство [math]L_1[/math] параллельно подпространству [math]L_2[/math] . Здесь [math]V=L_1\oplus L_2,[/math] [math]\Pi_(\boldsymbol_1+ \boldsymbol_2)=\boldsymbol_1[/math] для [math]\boldsymbol=\boldsymbol_1+\boldsymbol_2,[/math] [math]\boldsymbol_1\in L_1,

\boldsymbol_2\in L_2[/math] . Для этого оператора любой ненулевой вектор [math]\boldsymbol_1\in L_1[/math] является собственным, соответствующим собственному значению [math]\lambda=1[/math] , так как [math]\Pi_(\boldsymbol_1)=1\cdot \boldsymbol_1[/math] , а любой ненулевой вектор [math]\boldsymbol_2\in L_2[/math] является собственным, соответствующим собственному значению [math]\lambda=0[/math] , так как [math]\Pi_(\boldsymbol_2)=0\cdot \boldsymbol_2[/math] . Другие векторы не являются собственными, так как равенство [math]\Pi_(\boldsymbol_1+\boldsymbol_2)= \boldsymbol_1= \lambda(\boldsymbol_1+\boldsymbol_2)[/math] возможно либо при [math]\boldsymbol_1=\boldsymbol[/math] , либо при [math]\boldsymbol_2= \boldsymbol[/math] .

8. Рассмотрим оператор [math]\mathcal_\colon V\to V[/math] отражения на подпространство [math]L_1[/math] параллельно подпространству [math]L_2[/math] . Здесь [math]V=L_1\oplus L_2[/math] [math]\mathcal_(\boldsymbol_1+\boldsymbol_2)= \boldsymbol_1- \boldsymbol_2[/math] , для [math]\boldsymbol=\boldsymbol_1+\boldsymbol_2,[/math] [math]\boldsymbol_1\in L_1,

\boldsymbol_2\in L_2[/math] . Для этого оператора любой ненулевой вектор [math]\boldsymbol_1\in L_1[/math] является собственным, соответствующим собственному значению [math]\lambda=1[/math] , так как [math]\mathcal_ (\boldsymbol_1)= 1\cdot \boldsymbol_1[/math] , а любой ненулевой вектор [math]\boldsymbol_2\in L_2[/math] является собственным, соответствующим собственному значению [math]\lambda=-1[/math] , так как [math]\mathcal_ (\boldsymbol_2)= (-1)\cdot \boldsymbol_2[/math] . Другие векторы не являются собственными, так как равенство [math]\mathcal_(\boldsymbol_1+\boldsymbol_2)= \boldsymbol_1- \boldsymbol_2= \lambda(\boldsymbol<>_1+ \boldsymbol_2)[/math] возможно либо при [math]\boldsymbol_1=\boldsymbol[/math] , либо при [math]\boldsymbol_2= \boldsymbol[/math] .

9. В пространстве [math]V_3[/math] радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки [math]O[/math] , рассмотрим поворот на угол [math]\varphi\ne\pi k,

k\in\mathbb[/math] , вокруг оси [math]\ell[/math] , заданной радиус-вектором [math]\vec<\ell>[/math] . Любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору [math]\vec<\ell>[/math] , является собственным, отвечающим собственному значению [math]\lambda=1[/math] . Других собственных векторов у этого преобразования нет.

Пример 9.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования [math]\mathcal\colon T_1\to T_1[/math] , преобразующего пространство тригонометрических многочленов (частоты [math]\omega=1[/math] ):

а) с действительными коэффициентами [math]T_1=T_1(\mathbb)= \operatorname (\sin,\cos)[/math] ;

б) с комплексными коэффициентами [math]T_1=T_1(\mathbb)= \operatorname (\sin,\cos)[/math] .

Решение. 1. Выберем стандартный базис [math]e_1(t)=\sin,

e_2(t)=\cos[/math] и составим в этом базисе матрицу [math]D[/math] оператора [math]\mathcal:[/math]

2. Составим характеристический многочлен преобразования [math]\mathcal\colon\, \Delta_<\mathcal>(\lambda)= \begin-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end= \lambda^2+1.[/math] .

3. Характеристическое уравнение [math]\lambda^2+1=0[/math] имеет комплексные сопряженные корни [math]\lambda_1=i,

\lambda_2=-i[/math] . Действительных корней нет, поэтому преобразование [math]\mathcal[/math] вещественного пространства [math]T_1(\mathbb)[/math] (случай (а)) не имеет собственных значений, а следовательно, и собственных векторов. Преобразование [math]\mathcal[/math] комплексного пространства [math]T_1(\mathbb)[/math] (случай (б)) имеет комплексные собственные значения [math]\lambda_1,\,\lambda_2[/math] .

4(1). Для корня [math]\lambda_1=i[/math] находим фундаментальную систему [math]\varphi_1[/math] решений однородной системы уравнений [math](D-\lambda_1 E)x=o:[/math]

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, умножая первое уравнение на [math][/math] и вычитая его из второго уравнения:

Выражаем базисную переменную [math]x_1[/math] через свободную: [math]x_1=ix_2[/math] . Полагая [math]x_2=1[/math] , получаем [math]x_1=i[/math] , т.е. [math]\varphi=\begini&1 \end^T[/math] .

5(1). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению [math]\lambda_1= i\colon\, s_1(t)=i\cdot\sin+1\cdot\cos[/math] . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению [math]\lambda_1=i[/math] , образуют ненулевые функции, пропорциональные [math]s_1(t)[/math] .

4(2). Для корня [math]\lambda_2=-i[/math] аналогично находим фундаментальную систему (состоящую из одного вектора) [math]\varphi_2=\begin-i&1 \end^T[/math] решений однородной системы уравнений [math](D-\lambda_2E)x=o:[/math]

5(2). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению [math]\lambda_2=-i\colon\, s_2(t)=-i\cdot\sin+1\cdot\cos[/math] . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению [math]\lambda_2=-i[/math] , образуют ненулевые функции, пропорциональные [math]s_2(t)[/math] .

Собственные значения (числа) и собственные векторы.

Второй урок о линейных преобразованиях будет посвящён собственным числам и собственным значениям их матриц, и для более интересного чтения я рекомендую ознакомиться с первой статьёй. Однако если у вас совсем нет времени/сил/желания, то задачи этой страницы можно освоить и чисто формально. С небольшой художественной формальности я, собственно, и начну:

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу, например, . И умножим данную матрицу справа на какой-нибудь подходящий столбец. Мне пришёл в голову вектор :

Вроде ничего примечательного – умножили матрицу на вектор-столбец и получили другой вектор-столбец . Обычная векторная жизнь. Но в обществе таких векторов существуют особые представители, которые обладают внутренним стержнем и не желают изменять себе в трудные минуты.

Умножим ту же матрицу на :

На последнем шаге вынесли константу. Что произошло? В результате умножения матрицы на вектор , данный вектор птицей Феникс возродился с числовым коэффициентом :

Определение: ненулевой вектор , который при умножении на некоторую квадратную матрицу превращается в самого же себя с числовым коэффициентом , называется собственным вектором матрицы . Число называют собственным значением или собственным числом данной матрицы.

В первых абзацах статьи я выставил собственный вектор «главным действующим лицом», но на самом деле всё немного не так: говорят, что собственный вектор соответствует собственному значению . И, немного забегая вперёд, сообщу, что в практических заданиях сначала разыскиваются собственные значения и только потом собственные векторы.

Поскольку каждой квадратной матрице соответствует определенное линейное преобразование (в некотором базисе), то, исходя из содержательного смысла, часто говорят о собственных значениях и собственных векторах линейного преобразования. В Википедии есть очень удачная геометрическая интерпретация этих понятий – на репродукции Джоконды синий вектор не меняется в результате перекоса плоскости, а значит, является собственным вектором данного линейного преобразования. Я скуп на внешние ссылки, но здесь не удержался, пожалуйста, сообщите, если данную иллюстрацию вдруг удалят.

Однако не будем слишком увлекаться геометрией – сейчас в термины вектор, базис и др. вкладывается, прежде всего, алгебраический смысл. Собственные векторы и собственные значения используются во многих математических моделях, и сегодня мы освоим техническую сторону вопроса.

Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов?

У квадратной матрицы размером существует ровно собственных значений, причём некоторые из них (или даже все) могут быть кратными (совпавшими).

Так, у демонстрационной квадратной матрицы ровно два собственных значения, причём одно из них нам уже известно: . Второе собственное число гипотетически тоже может равняться «двойке» (но чаще всего, и здесь – в частности, собственные значения различны).

Могут ли собственные числа быть комплексными? Да, некоторые или все собственные значения могут быть комплексными. При этом алгоритм решения типовой задачи будет точно таким же. Однако на практике мне таких заданий не встречалось, поэтому в примерах данной статьи я ограничусь действительными собственными числами.

Что касается количества собственных векторов, то с ними ситуация занятнее. Любой вектор, который коллинеарен вектору тоже будет собственным вектором. Действительно, если взять пропорциональные столбцы, скажем, или , то совсем несложно убедиться в равенствах:

И с этой точки зрения у матрицы бесконечно много собственных векторов. Но ходить туда-сюда по одной и той же тропинке скучно и уныло, поэтому под рассматриваемым вопросом всегда подразумевают количество линейно независимых (неколлинеарных) собственных векторов.

У многих выпадает это из поля зрения, но в общем случае неколлинеарных собственных векторов тоже может быть бесконечно много! Пример тому – преобразование подобия (в частности, тождественное преобразование), при котором все ненулевые векторы плоскости или пространства сохраняют своё направление (после изучения первых примеров обязательно проверьте данный факт аналитически).

Однако на практике, вам, как правило, будет предложена матрица , у которой существует не более чем собственных векторов (а чаще всего, ровно ). Так, например, наша подопытная матрица «два на два» обладает, вероятнее всего, двумя собственными векторами. Однако стойкий оловянный солдатик может быть и в единственном экземпляре.

И немного о соотношениях чисел и векторов:

Каждому собственному значению соответствует хотя бы один собственный вектор, и если все собственные числа матрицы различны, то она имеет ровно собственных векторов.

Как найти собственные значения и собственные векторы матрицы?

Проведём исследование и получим алгоритм, по которому нужно решать данную задачу. Люди, которые не очень хорошо разбираются в математике (да и которые хорошо) обычно в страхе или отвращении захлопывают учебник, когда речь заходит о каком-либо доказательстве или выводе какой-нибудь формулы. Но это не тот случай – всё будет понятно даже полному чайнику:

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Перед вами старая знакомая матрица, у которой я уже выдал одно собственное значение и один собственный вектор. Давайте научимся добывать их самостоятельно!

Обозначим через неизвестный собственный вектор. Тогда матричное уравнение запишется следующим образом:

В левой части по обычному правилу проведём матричное умножение, в правой части – внесём «лямбду»:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Приравниваем соответствующие элементы векторов-столбцов и получаем однородную систему линейных уравнений:

Перенесём всё налево:

В первом уравнении за скобки вынесем «икс», во втором уравнении – «игрек»:

По определению, собственный вектор не может быть нулевым , поэтому нас не устраивает тривиальное решение системы. Следовательно, уравнения линейно зависимы и определитель матрицы системы равен нулю:

Это так называемое характеристическое уравнение матрицы , корни которого являются собственными числами данной матрицы.

Решение: на практике, как правило, не нужно расписывать подробный вывод формулы – вполне достаточно руководствоваться формальным алгоритмом.

Сначала найдём собственные значения

Составим характеристическое уравнение. Смотрим на исходную матрицу и записываем её определитель, вычитая при этом «лямбду» из чисел главной диагонали:

Таким образом, собственные значения:

Желательно располагать их в порядке возрастания, хотя это не принципиально.

Теперь найдём собственные векторы

В данном примере получены различные собственные числа и каждому из них соответствует свой собственный вектор.

1) Рассмотрим собственное число и подставим значение в однородную систему уравнений :

Для записи системы целесообразно запомнить формальный приём: мысленно либо на черновике подставляем в определитель :

– это и есть коэффициенты системы.

Из обоих уравнений следует:

Если в ходе решения выяснилось, что линейной зависимости нет (т.е. получается только тривиальное решение ) – ищите ошибку! Этот признак касается всех задач рассматриваемого типа.

Итак, в нашем распоряжении есть выражение , и координаты собственного вектора определены не однозначно. Стараемся подобрать значение «игрек» так, чтобы первая («иксовая») координата собственного вектора была целой, положительной и минимальной.

Пусть , тогда:

Обязательно проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы:

Таким образом:

2) Найдём второй собственный вектор. Для этого мысленно либо на черновике подставим в определитель и запишем вторую однородную систему:

Из обоих уравнений следует, что .

Положим , тогда:

В результате, собственный вектор: .

Повторим важные моменты решения:

– «игрек» подбираем таким образом, чтобы первая «иксовая» координата была целой, положительной и как можно меньше.

– проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Ответ: собственные числа: , собственные векторы: .

Промежуточных «контрольных точек» было вполне достаточно, поэтому проверка равенств , в принципе, дело излишнее.

В различных источниках информации координаты собственных векторов довольно часто записывают не в столбцы, а в строки, например: (и, если честно, я сам привык записывать их строками). Такой вариант приемлем, но в свете темы линейных преобразований всё-таки «идеологически правильнее» использовать векторы-столбцы.

Возможно, решение показалась вам очень большим по объёму, но это только потому, что я очень подробно прокомментировал первый пример. На самом деле случай «два на два» – одно из самых простых и коротких заданий, которое только может встретиться в контрольной работе.

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Иногда требуется выполнить дополнительное задание, а именно:

найти матрицу в базисе из собственных векторов

Если собственные векторы матрицы образуют базис, то она представима в виде:

, где – матрица составленная из координат собственных векторов, – диагональная матрица из собственных чисел.

…ничего не напоминает из заключительного параграфа статьи о линейных преобразованиях? ;-)

Такое разложение матрицы также называют каноническим или диагональным.

Рассмотрим матрицу первого примера. Её собственные векторы линейно независимы и образуют базис. Составим матрицу из их координат:

На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю:

Подчёркиваю важность порядка: перестановка «двойки» и «тройки» недопустима!

По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Гаусса-Жордана нетрудно получить . Это не опечатка – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.

Таким образом, матрица запишется в следующем виде:

Желающие могут перемножить три матрицы и удостовериться, что произведение равно .

Каноническое разложение матрицы выгодно использовать во многих задачах, и, кроме того, в нём сразу видны векторы, которые при данном линейном преобразовании не меняют направление. Это в точности векторы канонического базиса, т.е. собственные векторы.

Давайте вспомним заключительную часть урока о линейных преобразованиях. Там мы выяснили, что одному и тому же линейному преобразованию в разных базисах в общем случае соответствуют разные матрицы. И наиболее удобным из них как раз и является базис из собственных векторов! (в случае его существования). Более того, все матрицы конкретного линейного преобразования (в одном и том же векторном пространстве) имеют один и то же характеристический многочлен, и, скорее всего, именно по этой причине он и получил своё название. Так, в Примере 6 первой статьи по теме у исходной и итоговой матрицы «три на три» один и тот же характеристический многочлен – по той причине, что они задают одно и то же линейное преобразование трёхмерного пространства.

Записать матрицу в базисе из собственных векторов

Решение: найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены кратные собственные числа.

Мысленно либо на черновике подставим в определитель и запишем однородную систему линейных уравнений:

Вторая координата принудительно равна нулю: (иначе в первом уравнении получится неверное равенство). За «икс» можно принять любое ненулевое значение, в хорошем стиле положим, что .

Таким образом, кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор .

! Примечание: в общем случае такое утверждение неверно!

Канонические разложение матрицы имеет вид , и в нашей ситуации данного разложения не существует. Почему? Потому что невозможно записать матрицу , которая должна состоять из двух линейно независимых собственных векторов. Размерность вектора равна двум («икс» и «игрек»), но сам-то вектор – один-одинёшенек. Коллинеарный товарищ, например , в пару не годится (хотя бы по той причине, что и обратной матрицы попросту не существует).

У рассмотренного примера есть простое геометрическое объяснение: матрица определяет ни что иное, как «перекос Джоконды», у которого существует лишь одна группа коллинеарных векторов, сохраняющих своё направление. Направление же всех остальных ненулевых векторов данное линейное преобразование меняет.

Ответ: собственные векторы не образуют базиса, поэтому требуемое разложение неосуществимо.

Обратите внимание на корректность и точность ответа – нас никто не спрашивал о собственных значениях и собственных векторах.

Задача с матрицей «три на три» отличаются бОльшей технической сложностью:

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

Решение: такая формулировка задачи смущать не должна – ведь это и есть «генеральная линия партии». Энтузиасты могут провести самостоятельные выкладки по аналогии с Примером №1, я же ограничусь «рабочим» решением примера.

По условию требуется найти собственные векторы, но алгоритм таков, что в первую очередь всё равно нужно найти собственные числа.

Вычтем «лямбду» из всех чисел главной диагонали матрицы и составим её характеристическое уравнение:

На этом месте немного притормозим и познакомимся с очень полезным техническим приёмом, который значительно упростит дальнейшую жизнь. Практически во всех методических пособиях вам будет предложено раскрыть все скобки, получить слева многочлен 3-ей степени, затем подбором найти корень и стать жертвой долгих мытарств, описанных в Примере №1 урока Сложные пределы. За годы практики я отработал рациональную схему, позволяющую избежать этих неприятностей:

Сначала представим в виде произведения «хвост» левой части:

Выполненное действие не привело к заметному результату.

Поэтому пробуем разложить на множители квадратный трёхчлен . Решив квадратное уравнение, получаем .

Вынесем за скобку и проведём дальнейшие упрощения:

Решаем ещё одно квадратное уравнение, в итоге:

Это была самая длинная ветка алгоритма, в большинстве случаев произведение получается значительно быстрее.

Собственные значения всегда стараемся расположить в порядке возрастания:

Найдем собственные векторы:

1) Мысленно либо на черновике подставим значение в определитель , с которого «снимем» коэффициенты однородной системы:

Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим: – подставим во второе уравнение:

Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует, что .

И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости. Если получается только тривиальное решение , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена/решена система.

Компактные координаты даёт значение

Собственный вектор:

Крайне желательно проверить, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.

2) Для собственного значения по такому же принципу получаем следующую систему:

Из 2-го уравнения системы выразим: – подставим в третье уравнение:

Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость .

Пусть

Проверяем, что решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Таким образом, собственный вектор: .

3) И, наконец, собственному значению соответствует система:

Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим и подставим в 1-ое и 3-е уравнение:

Всё хорошо – выявилась линейная зависимость , которую подставляем в выражение :

В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»: . На практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей, в некоторых случаях удобнее выразить и через либо и через . Или даже «паровозиком» – например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет»

Положим , тогда:

Проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор

Ответ: собственные векторы:

Если бы по условию требовалось найти каноническое разложение – то здесь это возможно. Различным собственным числам соответствуют разные линейно независимые собственные векторы: составляем матрицу из их координат, диагональную матрицу из соответствующих собственных значений и находим обратную матрицу . Геометрически собственные векторы базиса указывают на три различных направления пространства, которые данное линейное преобразование не меняет.

Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения:

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-ей степени. Кроме того, ваши решения систем могут отличаться от моих решений – здесь нет однозначности; и векторы, которые вы найдёте, могут отличаться от векторов образца с точностью до пропорциональности их соответствующих координат. Например, и . Эстетичнее представить ответ в виде , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, версия смотрится уже не очень хорошо.

Примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.

Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?

Общий алгоритм остаётся прежним, но здесь есть свои особенности, и некоторые участки решения целесообразно выдержать в более строгом академичном стиле:

Найти собственные числа и собственные векторы

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Конечно же, оприходуем сказочный первый столбец:

И, после разложения квадратного трёхчлена на множители:

В результате получены собственные числа , два из которых кратны.

Найдем собственные векторы:

1) С одиноким солдатом разделаемся по «упрощённой» схеме:

Из последних двух уравнений четко просматривается равенство , которое, очевидно, следует подставить в 1-е уравнение системы:

Лучшей комбинации не найти:

Собственный вектор:

2-3) Теперь снимаем пару часовых. В данном случае может получиться либо два, либо один собственный вектор. Невзирая на кратность корней, подставим значение в определитель , который приносит нам следующую однородную систему линейных уравнений:

Собственные векторы – это в точности векторы

фундаментальной системы решений

Собственно, на протяжении всего урока мы только и занимались тем, что находили векторы фундаментальной системы. Просто до поры до времени данный термин особо не требовался. Кстати, те ловкие студенты, которые в маскхалатах проскочили тему однородных уравнений, будут вынуждены вкурить её сейчас.

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

Единственное действие состояло в удалении лишних строк. В результате получена матрица «один на три» с формальной «ступенькой» посередине.

– базисная переменная, – свободные переменные. Свободных переменных две, следовательно, векторов фундаментальной системы тоже два.

Выразим базисную переменную через свободные переменные: . Нулевой множитель перед «иксом» позволяет принимать ему совершенно любые значения (что хорошо видно и из системы уравнений).

В контексте данной задачи общее решение удобнее записать не в строку, а в столбец:

Паре соответствует собственный вектор:

Паре соответствует собственный вектор:

Примечание: искушенные читатели могут подобрать данные векторы и устно – просто анализируя систему , но тут нужны некоторые знания: переменных – три, ранг матрицы системы – единица, значит, фундаментальная система решений состоит из 3 – 1 = 2 векторов. Впрочем, найдённые векторы отлично просматриваются и без этих знаний чисто на интуитивном уровне. При этом даже «красивее» запишется третий вектор: . Однако предостерегаю, в другом примере простого подбора может и не оказаться, именно поэтому оговорка предназначена для опытных людей. Кроме того, а почему бы не взять в качестве третьего вектора, скажем, ? Ведь его координаты тоже удовлетворяют каждому уравнение системы, и векторы линейно независимы. Такой вариант, в принципе, годен, но «кривоват», поскольку «другой» вектор представляет собой линейную комбинацию векторов фундаментальной системы.

Ответ: собственные числа: , собственные векторы:

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Найти собственные числа и собственные векторы

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Следует отметить, что и в 6-м и в 7-м примере получается тройка линейно независимых векторов, поэтому исходная матрица представима в каноническом виде . Но такая малина бывает далеко не во всех случаях:

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

Дальнейшие упрощения проводим согласно рассмотренной методике, избегая многочлена 3-й степени:

– собственные значения.

Найдем собственные векторы:

1) С корнем затруднений не возникает:

Не удивляйтесь, помимо комплекта в ходу также переменные – разницы тут никакой.

Из 3-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 2-е уравнения:

Из обоих уравнений следует:

Пусть , тогда:

2-3) Для кратных значений получаем систему .

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.

(2) Последние две строки одинаковы, одну из них удалили.

(3) Дальше пошла уместная доводка матрицы методом Гаусса-Жордана: к первой строке прибавили вторую строку.

(4) У первой строки сменили знак.

Переменные – базисные, переменная – свободная. Так как свободная переменная одна, то фундаментальная система решений состоит из одного вектора. И мы счастливые наблюдатели случая, когда кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор. Записываем в столбец общее решение системы: , и, задавая свободной переменной значение , получаем нашего героя:

Ответ: собственные числа: , собственные векторы: .

Исходную матрицу нельзя представить в базисе из собственных векторов по той простой причине, что такого базиса не существует – хоть трёхмерные векторы-столбцы и линейно независимы, но самих-то их всего лишь два. Недобор.

Шестое чувство мне подсказывает, что многие воодушевились на задание повышенной сложности:

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Можно ли записать данную матрицу в канонической форме?

Не беда, если дело застопорилось, в психотерапевтических целях отложите тетрадь с решением на чёрный день. Когда заест скука – самое то =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:

– собственные значения.

Найдем собственные векторы:

1)

Пусть

– собственный вектор.

2)

Пусть

– собственный вектор.

Ответ: собственные значения: , собственные векторы: .

Пример 5: Решение: сначала найдем собственные числа. Составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первой строке:

– собственные значения.

Найдем собственные векторы:

1)

Пусть

2)

Пусть

3)

Пусть

Ответ: собственные векторы:

Пример 7: Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

– собственные значения.

Найдем собственные векторы:

1-2)

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

Выразим базисную переменную через свободные переменные: и запишем общее решение: . Найдём векторы фундаментальной системы, которые в данной задаче являются собственными векторами матрицы:

Паре соответствует собственный вектор:

Паре соответствует собственный вектор:

Примечание: в качестве решения системы линейных уравнений данного пункта напрашивается тройка , но столбец линейно выражается через векторы фундаментальной системы. Использование такого и подобных ему решений в качестве одного из собственных векторов корректно, но нестандартно.

3)

Пусть

Ответ: собственные числа: , собственные векторы:

Пример 9: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель вычислим понижением порядка. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на –1. К четвёртой строке прибавим вторую строку, умноженную на :

Разложим определитель по 4-му столбцу:

К третьей строке прибавим первую строку:

Собственные значения:

Найдем собственные векторы:

1)

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Первую и третью строку поменяли местами.

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и –2 соответственно.

(3) Вторую строку разделили на 2.

(4) К 3-й и 4-й строкам прибавили вторую строку, умноженную на –1.

(5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. У первой строки сменили знак, вторую строку умножили на 2.

(6) К первой и второй строкам прибавили третью строку.

(7) У первой строки сменили знак, последние две строки разделили на 2.

Выразив базисные переменные через свободную, запишем общее решение: . Придаём свободной переменной значение и получаем собственный вектор

2-3)

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Первая и четвёртая строки одинаковы. Вторая и третья строки одинаковы. Первую и вторую строку удалили из матрицы.

Выразим базисные переменные через свободные переменные :

Таким образом, общее решение: .

Фундаментальная система состоит из двух векторов:

при получаем ;

при получаем .

4)

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Первую и третью строку поменяли местами.

(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и 2 соответственно.

(3) Вторую строку разделили на 2.

(4) К 3-й и 4-й строкам прибавили вторую строку.

(5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. Вторую строку умножили на –2.

(6) К первой и второй строкам прибавили третью строку.

(7) Последние две строки разделили на 2.

Общее решение: . Придаём свободной переменной значение и получаем собственный вектор .

Ответ: собственные значения: , собственные векторы:

. Перечисленные четыре четырехмерных вектора линейно независимы, и поэтому матрицу линейного преобразования можно записать в канонической форме . Но лучше не надо =)

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 оценок, среднее: 5,00 из 5)
Загрузка...
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

51 − = 43

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

map